미지수를 도입한 최초의 수학자, 디오판토스

디오판토스(Diophantus, 246년 ~ 330년)는 고대 그리스의 알렉산드리아 출신의 수학자입니다. 대수학의 아버지라고 불리며 대수학의 발전에 큰 기여를 한 디오판토스에 대하여 알아보겠습니다.

 

디오판토스의 생애와 일화

디오판토스의 활동 시기는 대략 3세기 후반쯤으로 추정됩니다. 그의 행적은 약간은 불확실합니다. 그렇지만 그가 몇 살에 사망했는지는 알 수 있습니다. 바로 그의 묘비에 새겨진 글귀가 말해주고 있습니다. 그의 묘비에는 이렇게 쓰여 있습니다.

이 묘지에 디오판토스가 잠들다. 신의 축복으로 태어난 그는 인생의 1/6을 소년으로 살았고 그 뒤 인생의 1/12이 더해졌을 때 수염이 나기 시작했다. 다시 인생의 1/7이 지난 뒤 그는 아름다운 여인과 결혼했고 5년 만에 소중한 아들이 태어났다. 그러나 슬프게도 그의 아들은 아버지의 반밖에 살지 못했다. 이들을 먼저 보낸 그는 깊은 슬픔에 빠져 4년간 수학에 몰두하며  스스로를 위로하다가 생을 마감했다.

그럼 디오판토스의 죽었을 때의 나이를 계산해 보겠습니다. 이것을 방정식으로 나타내면 다음과 같습니다.

이를 풀어보면 디오판토스의 나이는 84세입니다. 

 

이처럼 자신의 생애를 방정식으로 만들어 표현해 보는 것도 좋을 것 같습니다.  

그럼 조선의 제4대 왕인 세종대왕의 나이를 디오판토스처럼 방정식으로 만들어 풀어보겠습니다. 다음을 읽어보고 세종대왕이 몇 세에 돌아가셨는지 문제를 만들어 풀어보시기 바랍니다.

세종대왕은 생의 1/13이 되던 해에 아버지 태종 이방원이 왕이 되어 궁에 들어가 살게 되었습니다. 7년 후에 소헌왕후 심 씨와 혼례를 올렸습니다. 그 후 인생의 1/4의 3년이 모자란 시간이 지난 후 왕위에 올랐습니다. 생의 1/2보다 5년이 넘는 재위기간 동안 한글 창제를 비롯하여 유교정치의 기틀을 마련하고 법전을 정비하고 농업과 과학기술을 장려하고 기술 서적을 편찬하는 등 민족국가의 기틀을 공고히 다진 우리 민족사에서 가장 빛나는 시기를 만들어냈습니다. 

 

 

디오판토스의 수학이론과 업적

디오판토스의 중요한 업적 중 하나는 바로 기호를 사용한 것입니다. 디오판토스 이전에는 모든 대수 방정식을 산문 형식으로 길게 풀어썼습니다. 예를 들어 '어떤 수에 8을 더하면 11이 된다"는 것을 문제를 풀 때마다 산문 형식으로 풀어쓴다고 생각해 봅시다. '어떤 수를 남기고 11쪽으로 8을 넘기면 어떤 수는  11에서 8을 빼 준 형태가 됩니다. 그래서 어떤 수는 11 빼기 8이 되어 어떤 수는 3입니다.' 이렇게 복잡하고 긴 문장으로 표현됩니다. 그러나 기호를 사용하면 

이렇게 간단하고 명확하게 나타낼 수 있습니다. 디오판토스가 자주 사용하는 연산을 특정한 기호로 표현하기 시작하면서 대수학의 발전을 가져왔습니다. 음의 부호 마이너스, 등호, 거듭제곱 등 을 기호로 나타내면서 대수학의 체계를 다질 수 있었습니다. 또한 수학 기호를 이용해 1차 방정식과 2차 방정식의 해를 구하는 방법을 연구하였습니다.  특히 페르마의 마지막 정리라고 알려진 방정식도 디오판토스에 의해 나오게 되었습니다. 이는 디오판토스의 방정식의 대표적인 형태에서 가져온 것입니다. 

n이 2일 때는 알다시피 피타고라스의 정리가 됩니다.  이 단순하면서 간단해 보이는 문제의 증명이 풀리는 데는 300년이란 시간이 흘렀습니다. 1998년 영국 케임브리지 대학의 앤드루 와일즈 교수가 해결을 했는데 증명이 무려 200쪽이 넘는다고 합니다. 이 페르마의 마지막 정리에 대한 재밌는 일화가 있습니다. 페르마가 디오판토스의 책 '산술' 귀퉁이에 이 문제를 증명했는데 여백이 부족하여 적지 못했다는 말이 발단이 되어 이 정리의 증명에 현상금이 걸리기도 했습니다. 

 

이 외에도 일차 디오판토스의 방정식을 유클리드 확장 알고리즘을 통해 구했습니다. 디오판토스의 방정식은 정수를 계수로 하며 미지수가 두 개 이상인 방정식으로서  정수로만 된 해를 찾는 방정식입니다. 해가 없거나 해가 무한개가 있는 부정방정식으로 표현하기도 했습니다. 

 

디오판토스의 영향과 의의

디오판토스의 대표적인 저서로는 산학(Arithmetica)이 있습니다. 총 13권으로 이루어져 있으나 현재는 6권이 남아있습니다. 수학에 기호를 처음 사용하게 되면서 간결하고 명확한 표현이 가능해졌고 그의 저서를 통해 후에 많은 학자들이 연구를 거듭하면서 그는 대수학의 아버지라는 호칭을 얻기도 했습니다. 특히 정수론의 발전에 큰 기여를 하였습니다. 디오판토스가 기호를 사용하지 않았다면 아마 우리는 아직도 수학을 산문처럼 길게 표현하고 있을지도 모릅니다.