π의 근삿값을 처음으로 계산한 수학자, 아르키메데스

아르키메데스(Archimedes, B.C. 287년 ~ 212년)는 왕관이 순금으로 만들어졌는지 아니면 다른 성분이 섞였는지를 알아내기 위해 연구하다가 부력의 원리를 발견하여 '유레카'라고 외친 일화로 유명합니다. 가우스, 뉴턴과 함께 세계 3대 수학자로 꼽히는 아르키메데스에 대하여 알아보겠습니다.

 

아르키메데스의 생애와 일화

시칠리아 섬 시라쿠사에서 태어난 아르키메데스는 천문학자였던 아버지의 영향으로 천문학과 수학에 관심을 갖게 되었습니다. 어릴 적 아르키메데스는 수학자보다는 창의적인 발명가로 더 유명했습니다.

생활에  필요한 여러 가지 물건들을 만드는데 재능이 있었던 그의 대표적인 발명품은 나선을 응용해 만든 펌프가 있다. '아르키메데스의 나선식 펌프'라고 불리며 배에 고인 물을 퍼오르거나 밭에 물을 댈 때 널리 사용했습니다.

오늘날에도 이집트 농촌에서 관개에 널리 쓰이고 있습니다.

 

 

 

당시 시라쿠사는 외부로부터 잦은 침입을 당하였습니다. 시라쿠사를 지키기 위해 아르키메데스는 많은 무기들을 연구하고 개발했습니다. 어느 날 시라쿠사의 왕이 아르키메데스에게 해변가 모래 위에 있는 군인이 가득한 군함을 바다에 띄울 수 있는지를 물었습니다. 그러자 그는 지렛대와 받침대를 이용해서 쉽게 군함을 바다 위로 띄웠습니다. 그리고는 시라쿠사 왕에게 말했습니다. '지구를 들어 올릴 수 있는 길이의 지렛대와 받침대를 준다면 지구도 들어 올리겠습니다.' 

 

사라쿠사는 강대국 로마의 침략을 받았으며 끈질기게 저항하였으나 결국 로마군이 시라쿠사에 진입하였습니다. 아르키메데스는 모래밭에서 원을 그리며 수학 문제를 푸는 데 집중하고 있었습니다. 로마 군인이  모래 칠판을 밟으려 하자 '그 원을 밟지 마라!'라고 외치자 화가 난 로마 군인이 칼을 휘둘렀습니다. 아르키메데스에 대한 경외심을 가지고 있었던 로마 장군 말케레스가 아르키메데스를 절대로 죽이지 말라는 명령이 내려져 있었지만 안타깝게도 이는 지켜지지 않았습니다.  후에 말케레스는 아르키메데스의 오랜 소망대로 그의 묘비에 원기둥 속에 들어있는 구를 그려주었다고 합니다.

 

 

 

 

아르키메데스의 수학 이론과 업적

아르키메데스의 업적 중 손꼽히는 것은 원주율 π의 값이 끝없이 나아가는 무리수라는 것을 발견한 것입니다. 또한 원주율 π의 근삿값을 계산한 첫 번째 수학자입니다. 오늘날 컴퓨터의 성능을 판단하고 싶다면 π값을 소수 몇째 자리까지 정확하게 계산하는지와 걸리는 시간을 보면 된다고 합니다. 그럼 계산기도 컴퓨터도 없었던 시대의 아르키메데스는 어떻게 π값을 구할 수 있었을까요? 다각형을 이용했다고 합니다. 원의 둘레는 그 원의 안쪽에 접해 있는 다각형보다는 길고, 원의 바깥쪽에 접해 있는 다각형보다는 짧다는 사실을 이용하여 96각형까지 변의 수를 늘려가며 둘레의 근삿값을 구했습니다. 이 방법을 무수히 반복하여 원주율 π의 값이 3.140보다 크고 3.142보다 작다는 것을 발견했습니다. 

지레의 원리를 이용해 구의 겉넓이와 부피가 그 구가 내접하는 원기둥의 겉넓이와 부피의 2/3가 된다는 사실을 증명해 내기도 했습니다. 이것은 미적분학의 기초가 되었습니다. 18세기에 이르러 미적분학이 발달하기 전까지 아르키메데스보다 입체의 부피와 겉넓이에 대해 자세하고 정확하게 정리한 사람이 없을 정도였습니다. 이 외에도 한 숫자가 몇 번이나 곱해지는지를 나타내는 지수라는 것을 만들어 내어 큰 숫자를 나타내는 새로운 표기법을 만들었습니다. 또한 아르키메데스의 다면체라고 불리는 13개의 다면체도 발견했습니다. 

 

아르키메데스는 수학뿐만 아니라 과학에도 많은 기여를 했습니다. '유레카'라고 외치면서 발견한 부력의 원리가 대표적입니다. 시라쿠사 왕의 왕관이 순금으로 만들어졌는지 아니면 다른 성분이 섞여있는지 알아보는 문제를 고민하다가 우연히 목욕탕의 물이 넘치는 것을 보고 부력의 원리, 즉 아르키메데스의 원리를 발견합니다.  기체나 액체로 이루어진 유체에 어떤 물체가 잠기면 그 물체가 유체를 밀어내는데 그 무게만큼 부력이 위쪽으로 작용한다는 것입니다. 부력은 물에 뜨려는 힘인데 이는 물체가 유체로부터 받는 중력과 반대 방향의 힘을 가리킵니다. 이때 물체가 밀어낸 유체의 부피는 유체에 잠긴 부분의 부피와 같습니다. 이를 이용하여 왕관이 순금인지 아닌지를 밝혀내기도 했습니다. 

 

 

아르키메데스의 영향과 의의

아르키메데스는 부력의 원리, 지레의 원리 등의 과학 이론을 발견했습니다.  원주율 π의 근삿값 계산과 원의 넓이를 구하면서 미적분학의 기초를 다지고 원기둥, 원뿔, 구 등의 입체도형을 연구했습니다. 그 당시 아르키메데스는 해결하지 못한 수학 문제가 없었을 정도였고 세계 3대 수학자 중 하나라고 할 만합니다.  오늘날의 현대 과학과 수학에 비약적인 발전이 이루어지는 토대가 되었고 수학자 및 과학자들에게 계속해서 영향을 미치고 영감을 주고 있습니다.