최초로 수학 교과서를 만든 수학자, 유클리드

유클리드(Euclid, B.C. 330년 추정 ~ 275년 추정)는 인류 최초로 수학 교과서를 만든 수학자입니다. 이로 인해 수학이 발전하는데 큰 기여를 하였지만 수학을 어려워하는 학생들에게는 원망의 대상이기도 합니다.

유클리드의 생애와 일화

유클리드의 명성에 비해 그에 대해 알려진 사실은 많지 않습니다. 유클리드는 그리스에서 나고 자랐고 후에 알렉산드리아에서 프톨레마이이오스 1세를 가르쳤으며 알렉산드리아 박물관 소속 학자로 전해지고 있습니다. 유클리드는 수학이 실용적인 학문이며 건설, 사업 등에 유용할 것을 알고 있었지만 수학의 진정한 가치는 사고력 개발에 있다고 보았습니다. 그래서 수학을 공부한 사람은 사고력과 논리력을 키울 수 있어서 감정이 앞서는 대신 이성적  사고를 하는 현명함을 가질 수 있다고 믿었습니다. 하루는 제자가 수학을 배워서 쓸 곳이 있느냐고 물었고 이에 유클리드는 동전 한 닢을 제자에게 주었다고 합니다. 

 

또한 프톨레마이오스 1세가 유클리드로부터 기하학을 배울 때 너무 어려워서 좀 더 쉬운 방법으로 배울 수 없겠냐고 물으니 "기하학에는 왕도가 없다."라는 대답을 했다는 유명한 일화가 있습니다. 

 

 

유클리드의 수학 이론과 업적

기하학이 수학의 가장 기본이 되는 원리라고 생각한 유클리드는 이를 체계적으로 배울 수 있는 교재가 없음을 안타까워했다고 합니다. 그래서 유클리드는 이전의 유명한 수학자들의 연구를 모아 거기에 자신의 생각을 덧붙여 교과서를 만들었는데 이것이 바로 그 유명한 [원론]입니다. 원론은 총 13권으로 이루어져 있습니다. 처음 여섯 권은 평면기하에 대하여 다음 네 권은 수의 성질에 대하여, 나머지 세 권은 입체도형에 관한 내용입니다. 유클리드의 기하학은 2000년에 걸쳐 기하학 연구에 지대한 영향을 미쳤습니다. 유클리드의 [원론]은 고대 그리스부터 오늘날에 이르기까지 기하학을 배우는 학생들의 교재로 이용되고 있습니다. 기하학의 기초를 익힐 때 유클리드의 공리와 공준을 통해 증명을 합니다.  

 

유클리드는 기하학에는 5개의 공리와 5개의 공준이 있습니다.

 

공리는 공준보다 더 일반적인 모든 학문에서 당연히 성립하는 이치를 말하는 것으로 다음과 같습니다.

1. 동일한 것과 같은  것들은 서로 같다.

2. 같은 것들에 같은 것을 더하면 그 합은 서로 같다.

3. 같은 것들에서 같은 것을 빼면 그 차는 서로 같다.

4. 서로 포개어지는 것들은 서로 같다.

5. 전체는 부분보다 크다.

 

공준은 도형의 성질 중에서 누구도 의심하지 않고 받아들일 수 있는 분명한 이치를 말하며 학문상의 원리로써 의심의 여지가 없는 것을 말한다고 했습니다. 5개의 공준은 다음과 같습니다. 

1. 임의의 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다.

2. 직선은 무한히 연장할 수 있다. 

3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 같다.

5. 한 직선과  한 점이 주어질 때, 그 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선이 유일하게 존재한다.(평행선 공리)

 

특히 다섯 번째 공준인 평행선 공리는 오랜 시간에 걸쳐 많은 수학자들이 증명하고자 했지만 19세기에 증명될 수 없음이 밝혀지면서 비유클리드 기하학이 탄생하게 되었습니다. 이는 평행선이 유일하게 존재하는 것이 아니라 평행선이 없다는 기하학과 무한히 많다는 개념의 기하학을 말합니다. 이것이 비유클리드 기하학입니다. 결론은 달라졌지만 그 출발은 유클리드 기하학에서 시작되었다는 것은 자명합니다. 

이런 비유클리드 기하학은 우리 생활에 어떤 영향을 미칠까요? 한 예로 비행기 항로를 생각해 보겠습니다. 평면인 고속도로를 달리는 자동차처럼  둥근 지구를  나는 비행기 항로를 유클리드 기하학의 평행선처럼 정하면 정말 큰일이 벌어질 것입니다. 비행기 항로는 구면 기하학의 성질을 이용하여 구부러지게 날아야 합니다. 구면에서 평행하다는 개념은 평면에서 평행한 것과는 차원이 다르기 때문입니다.

 

이 외에도 유클리드의 [원론]에는 두 정수의 최대공약수 또는 두 다항식의 최대차수공약다항식을 구할 때 사용하는 유클리드 호제법이 있습니다. 보통 두 정수의 최대공약수를 구할 때는 소인수분해하여 공통인수를 찾아서 나타냅니다. 그런데 소인수분해할 합성수가 큰 소수를 인수로 갖는다면 소인수분해하는 것이 어렵습니다. 유클리드 호제법은 소인수분해하지 않고 최대공약수를 구할 수 있습니다. 두 정수 A, B에 대하여 A를 B로 나눈 나머지를 R이라 하면, A와 B의 최대공약수와 B와 R의 최대공약수는 같습니다. 이를 이용하여 B를 R로 나눈 나머지 R1을 구합니다. 다시 R을 R1으로 나눈 나머지 R2를 구합니다. 이 과정을 반복하면 최대공약수를 구할 수 있습니다. 이 유클리드 호제법은 명시적으로 기술된 가장 오래된 알고리즘으로 평가받고 있습니다. 

 

유클리드의 수학적 의의

인류 최초의 수학 교과서이자 현대 기하학의 출발점이 된 유클리드 기하학 원론을 집대성한 유클리드는 수학의 기초 개념을 세우고 공리와 공준을 통해 사고하려 했으며 이러한 추론 방법은 수학의 모든 분야에 깊은 영향을 끼쳤습니다. 여전히 유클리드의 원론은 중요한 역할을 하고 있고 그 가치를 인정받고 있습니다.