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수학자 이야기

근대 수학을 확립한 수학자들의 수학자, 가우스

by 마늘빵12 2023. 9. 10.

카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777년 ~ 1855년)는 수학사에서 가우스를 빼놓을 수 없을 만큼 수학 전반에 걸쳐 많은 업적을 남긴 위대한 수학자로 수학자들 사이에서 '수학의 왕자'로 불리고 있습니다. 아르키메데스, 뉴턴과 함께 세계 3대 수학자로 평가받는 가우스에 대하여 알아보겠습니다. 

 

 

가우스의 어린 시절

가우스는 독일의 브라운슈바이크에서 가난한 벽돌공의 아들로 태어났습니다. 그의 아버지는 그저 가우스가 자신의 일을 이어받아 벽돌공이 되기를 원했지만 그의 어머니와 삼촌의 지원으로 학교에 다닐 수 있었습니다. 가우스는 어렸을 때부터 수학적 재능을 보였습니다. 3~4살 때쯤 아버지가 직원들의 월급을 계산하는 소리를 듣고 가우스가 계산이 틀렸다고 말했습니다. 다시 계산해 보니 가우스가 계산한 것이 맞았습니다. 어린 가우스는 암산으로 계산을 한 것입니다. 훗날 어른이 된 가우스는 '나는 말을 하기 전부터 산수를 했다.'라는 말을 농담처럼 했습니다. 

 

10세 때 학교 선생님이 1부터 100까지의 숫자를 모두 더한 값을 구하는 문제를 냈습니다. 이에 다른 친구들은 시간이 오래 걸렸지만 가우스는 얼마 걸리지 않아 문제를 풀었습니다. 그는 등차수열의 합의 공식을 이용하여 풀었습니다. 물론 어린 가우스가 이 원리를 최초로 만든 것은 아니지만 스스로 그것을 생각한 것 자체가 대단합니다. 

 

가우스의 뛰어난 실력을 알아본 선생님은 페르디난트 공작에게 가우스를 소개하였고 그 후부터 가우스는 공작의 후원을 받아 교육비 걱정 없이 공부할 수 있게 되었습니다. 

 

 

정십칠각형의 작도

1796년 괴팅겐 대학교에 들어간 19세의 가우스는 자와 컴퍼스만으로 정십칠각형을 그릴 수 있다는 사실은 발견하고 수학에 일생을 바치겠다고 결심했습니다. 이는 수학에서 매우 중요한 작도 문제이고 대단한 발견입니다. 가우스는 이 발견을 매우 자랑스러워해서 자신의 묘비에 정십칠각형을 새겨달라고 요청했다고 합니다. 그러나 정십칠각형이 원과 구분이 어려워 정십칠각형을 대신해 17개의 점으로 된 별이 새겨있다고 합니다. 

 

 

완벽주의자 가우스

괴팅겐 대학교에서 50여 년간 교수로 있으면서 다양한 수학 분야의 연구를 하였습니다. 24세 때 최소제곱법과 소행성 세레스의 궤도를 예측하여 수학계, 과학계에 이름을 알리기 시작하여 위대한 성과를 냈습니다. 가우스는 완벽주의자여서 자신의 연구에 대한 확신이 없으면 발표를 하지 않고 뒤늦게 발표하는 경우가 많았습니다. 그래서 종종 다름 사람의 연구 결과를 훔쳤다는 오해를 많이 받았습니다. 그중에는 비유클리드 기하학에 대한 이론을 비롯해 복소함수 적분에 대한 이론도 포함되어 있습니다. 가우스에 대한 이런 오해는 그의 사후 40여 년이 지나서 풀렸습니다. 그가 연구 내용을 기록했던 일기가 공개되었기 때문입니다. 그래서 일부 수학자들은 가우스가 자신의 연구를 좀 더 일찍 발표했다면 전 세계의 수학사와 과학사가 바뀌었을 거라고 한탄하기도 합니다. 

 

가우스는 1855년 79세의 일기로 생을 마감합니다. 가우스는 수학을 연구하는 데는 무엇에게도 방해받지 않고 완전히 몰두할 시간이 필요하다고 했지만 열악한 연구 환경과 강의 시간을 빼야 하는 등 순수한 연구에만 몰두할 수 없었습니다. 월급도 박봉이어서 생활고에 시달리고 나폴레옹의 프랑스 점령군의 과도한 세금과 대규모 측량사업에 20년간이나 동원되는 등 연구 이외의 일에 너무 많은 시간을 빼앗겼습니다. 개인사도 그리 평온한 것이 아니어서 가우스 자신도 사망하기 전에 자신의 삶이 불행했다는 고백의 글을 남기기도 했습니다. 어려운 상황에서도 수학에 대한 연구를 멈추지 않았던 가우스는 세계 3대 수학자가 되었고 오늘날에는 '수학의 왕자'라는 수식어를 얻었고 그의 이름을 딴 기호, 정리, 함수 등이 쓰이고 있습니다. 

가우스의 우표와 독일 화폐

 

가우스의 수학 이론과 업적

가우스의 수학 이론은 수학의 다양한 분야에 걸쳐 방대한 내용이 있습니다. 여기서는 대표적인 것들을 소개해 보겠습니다. 가우스는 특히 정수론을 수학의 중요한 분야로 만들었습니다. 그는 '수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다.'라는 말을 했습니다.

1. 최소제곱법 발견
2. 2000년 이상 수학자들이 연구한 정십칠각형 작도 성공
3. 대수학의 기본 정리 증명 - 수를 복소수로 확장하면 n차 방정식의 답은 n개임을 증명
4. 산술(정수)의 기본정리 증명 - 1보다 큰 양의 정수는 유한개의 소수의 곱으로 유일하게 표현됨(곱의 순서 바꾸는 것은 제외함.)
5. 상대성 이론의 바탕이 된 미분기하학의 기초 정립
6. 확률 통계의 완성을 이끈 정규분포 함수 이론의 정립
7. 선형대수학의 근본을 이루는 가우스소거법 행렬 발견
8. 제곱잉여상호법칙을 7가지 방법으로 증명
9. 맥스웰 방정식 중 하나인 가우스 법칙 발견
10. 정수론을 수학 분야로 확립 - 가우스의 최대 걸작으로 꼽힘

이 외에도 퍼텐셜이론, 환론, 복소함수론 등 가우스의 수학적 업적은 무수히 많습니다. 그중에는 그의 이름을 딴 법칙과 정리들도 아주 많습니다. 

 

 

가우스의 영향과 의의

가우스는 대수학, 해석학, 기하학, 정수론 등 수학의 다양한 분야에 뛰어난 업적과 성과를 남겨 동시대의 수학자들에게 '수학의 왕자'라는 명예로운 지위를 누렸습니다. 동시대에 발생한 주요한 수학 문제들을 모두 풀어냈으니 그 지위에는 손색이 없었습니다. 수학적 엄밀성, 완전성을 도입하여 독립된 순수수학의 포문을 열고 근대수학을 확립하였습니다. 한마디로 위대한 수학자입니다. 그의 수많은 연구는 후대 수학자와 과학자에게 동기를 부여하고 우리의 삶에 여전히 큰 영향을 미치고 있습니다.