장애를 뛰어 넘은 위대한 수학자, 오일러

레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707년 ~ 1783년)는 수학, 물리학, 천문학은 물론 의학, 식물학 등의 많은 분야에 걸쳐 광범위한 연구를 하였습니다. 특히 수학에 두각을 나타내어 18세기 대표적인 수학자이자 역사상 가장 위대한 수학자로 손꼽히는 오일러에 대하여 알아보겠습니다. 

 

수학자가 될 운명을 타고 태어난 아이

오일러는 스위스 바젤에서 목사인 아버지와 목사의 딸인 어머니 사이에서 태어났습니다. 집안에서는 아버지와 같은 목회자의 길을 걷길 바랐으나 오일러는 수학을 너무 좋아해서 수학자의 길을 택했습니다. 그는 13살에 바젤 대학에 입학했고 그곳에서 아버지의 친구이자 당시 최고의 수학자 베르누이와 만나게 됩니다. 베르누이는 오일러의 수학적 재능을 알아보고  오일러에게 좋은 수학책을 추천해 주었고 오일러는 책을 보다가 이해가 되지 않는 부분이 생기면 베르누이를 찾아가 묻곤 하였습니다. 대학을 졸업한 오일러의 아버지의 뜻을 받아들여 목사가 되기 위해 신학으로 전공을 바꾸었습니다. 하지만 그곳에서 다시 베르누이를 만나 수학을 공부하게 되었고 베르누이는 오일러는 위대한 수학자가 될 운명을 타고 태어난 사람이라며 오일러의 아버지를 설득했습니다. 결국 아버지는 권유를 받아들여 오일러는 본격적인 수학자의 길을 걷게 됩니다. 

 

 

장애를 극복하다

오일러는 상트페테르부르크의 학술원에서 물리학 교수로 재직하였습니다. 물리학 교수였지만 틈틈이 수학 연구를 발표하였습니다. 집념이 강하고 온 힘을 다하여 연구에 몰두한 나머지 그는 눈병이 심하게 생겨 오른쪽 시력을 잃고 말았습니다. 그 후에도 몸을 돌보지 않고 연구에 몰두해 왼쪽 눈도 백내장으로 시력이 악화되어 결국 양쪽 눈의 시력을 모두 잃게 됩니다. 하지만 그의 연구는 멈추지 않았습니다. 그는 상상과 암산만으로 연구하여  시력을 잃고 난 후의 논문의 양이 시력을 잃기 전의 논문의 양보다 오히려 더 많았다고 합니다. 그는 평생 동안 560권의 책과 논문을 출간했고 그의 사후 동료들이 그가 남가니 자료를 모아 300권의 책을 더 출간했습니다. 수학자들이 18세기를 오일러의 시대라고 부르는 이유입니다. 

 

오일러는 죽는 순간까지 새로운 사실을 발견하기 위해 열정적으로 노력했습니다. 세상을 떠나는 날도 천왕성의 궤도를 연구하던 도중 쓰러졌습니다. 몇 시간 후 그는 차분하게 칠판 위에 '나는 죽는다.'라고 쓰고 평생 동안 쉼 없이 움직이던 위대한 계산을 멈추었습니다. 

 

 

수학 기호의 체계화

오일러는 수학의 거의 전 분야를 연구했습니다. 기하학, 미적분학, 대수학, 정수론, 등의 수학과 연속체 역학, 천문학 등의 물리학에서도 많은 업적을 남겼습니다. 

 

먼저 수학 기호를 체계화하였습니다.  그가 만든 수학 기호는 현대에도 많이 쓰고 있으며 몇 가지를 정리하면 다음과 같습니다. 

1. 근삿값이 2.71828인 자연상수 e                             2. 제곱해서 -1이 되는 허수의 기호 i 
3. 수열의 합의 기호 ∑                                                4. 근삿값이 3.14159 인 원주율 π
5. 삼각함수 표기 sin, cos, tan                                    6. 함수를 표시하는 기호 f(x)

 

무한급수의 합과 페르마의 마지막 정리 도전

오일러를 유럽 전 지역의 유명인사로 만든 수학적 발견은 분수들의 합을 계산하는 방법을 알아낸 것입니다. 이 문제는 바젤 대학의 교수인 요한 베르누이의 형 야곱이 발표하면서 모든 수학자에게 풀어보라고 했습니다. 이 문제는 90년 동안 고민을 안겨주었지만 어느 누구도 시원한 답을 얻지 못하였습니다. 오직 오일러만이 정확한 답을 찾았는데 이 일로 오일러는 유럽에 이름을 알릴 수 있었습니다. 

오일러도 페르마의 마지막 정리 증명에 도전했습니다. n=3인 경우는 증명을 했지만 일반화하지는 못했습니다. 그렇다고 이 증명이 가벼운 것이 아닌 이유는 페르마 이후 100년 동안 손도 못 댄 것을 오일러가 실마리를 제공한 것입니다.

 

 

한붓그리기의 발견

오일러가 남긴 업적 중 또 한 가지 유명한 문제는 쾨니히스베르크의 다리 문제입니다. 독일의 도시 쾨니히스베르크 지역에 4개의 지역을 연결해 주는 7개의 다리가 있는데 각각 한 번씩만 건너서 마을 전체를 산책할 수 있는가의 문제입니다.

출처 - 두산백과 한붓그리기

답은 '건널 수 없다.'입니다. 오일러는 한붓그리기라는 수학기술로 해결했습니다. 오일러는 한 번씩만 지나 모든 다리를 건너가기 위해서는 시작하는 점과 도착하는 지점을 제외하고 다른 모든 지점에서 다리를 건너 그곳에 닿을 때마다 그 다리가 아닌 다리를 통하여 그곳을 나갈 수 있어야 한다는 사실을 깨달았습니다. 즉, 그 점에 연결된 선의 개수가 짝수가 되어야 한다는 것입니다. 그래프로 표현한 것을 보면 홀수점이 두 개보다 많으므로 각각의 다리를 한 번씩만 지나 모든 다리를 건너는 것은 불가능합니다. 이것이 오늘날 오일러의 한붓그리기 정리입니다. 

오일러의 한붓그리기 정리
꼭짓점에 연결된 변의 개수가 짝수일 때를 짝수점, 홀수일 때를 홀수점이라고 하자.
어떤 도형에서 각각의 선을 한 번씩만 지나면서 도형을 그릴 수 있으려면 꼭짓점이 모두 짝수점이거나 홀수점이 2개일 때만 가능하다. 홀수점이 2개일 때 한 홀수점이 기점이면 다른 홀수점은 종점이 된다. 

 

 

오일러의 다면체 공식

오일러의 다면체 공식도 많이 알려져 있습니다.

오일러의 다면체 공식
다면체의 면의 개수를 f , 꼭짓점의 수를 v , 모서리의 개수를 e라고 하면
                   f + v - e =2

 

대표적인 오일러의 수학 이론에 대하여 알아보았습니다. 이 외에도 많은 업적이 있지만 대부분 대학에서 배우는 과정으로 일반적인 사람에게는 용어도 생소하고 내용도 어렵습니다. 여기서는 비교적 많이 알려지고 쉬운 내용을 언급하였습니다. 오일러의 연구는 순수 수학부터 응용 수학까지 다양한 분야를 아우르고 있습니다. 정수론, 대수학, 기하학뿐만 아니라 변분학, 미분방정식, 복소함수 이론, 그래프 이론, 환 이론 등의 연구는 새로운 수학분야의 기초가 되었습니다.

 

 

오일러의 영향과 의의

오일러는 시력을 잃었음에도 학문에 대한 열정은 식지 않았고 연구하며 새로운 것을 발견하려는 노력을 아끼지 않았습니다. 뛰어난 암산 능력과 상상력을 가진 오일러는 노력하는 천재 모습 그 자체입니다. 그의 생애는 끝났지만 그의 영향력은 사라지지 않았고 지금도 그의 업적은 현대 수학의 발전에 크게 기여하고 있습니다.