미적분학 이진법을 창안한 17세기 천재들의 완결판 수학자, 라이프니츠

고트프리트 라이프니츠(Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646년 ~ 1716년)는 천재들이 유난히 많았던 17세기에 천재들의 완결판이라는 평을 받는 수학자이자 철학자입니다. 그는 미적분학과 이진법을 창안하는 등 현대 수학에 많은 영향을 주고 있습니다. 라이프니츠에 대하여 알아보겠습니다.

 

라이프니츠의 생애

라이프니츠는 독일의 라이프치히 지방에서 태어났고 그의 아버지는 라이프치히대학의 도덕철학 교수였습니다. 6세 때 아버지가 돌아가셨지만 그의 아버지가 남겨놓은 많은 책들은 그의 재능을 펼칠 수 있는 밑거름이 되었습니다. 그는 어렸을 때부터 학문적 성취가 뛰어났습니다. 우리나라로 생각하면 초등학생의 나이인 12세에 거의 독학으로 라틴어에 통달하였고  그리스어를 능히 구사하였으며 모든 과목에서 완성형의 능력을 보여주었습니다. 그는 15세 때 라이프치히대학에서 법률과 수학 등을 공부하였습니다. 1666년 라이프치히 대학의 법학대학을 졸업하고 학위를 신청했으나 어리다는 이유로 거절당하고 뉘른베르크의 알트도르프 대학에서 학위를 받았습니다.

 

알트도르프 대학의 교수제의를 거절한 라이프니츠는 연금술 사회의 비서직으로 일을 합니다. 같은 해에 마인츠의 정치인 보이네부르크를 만나 법률고문이 되고 항소법원의 배석판사로 승진하여 외교활동을 하기도 하였습니다. 그는 외교관, 정치가, 기사 등 실무가로서 매우  유능하였습니다.  1672년 이후 파리에서 활동하면서 런던과 파리의 뛰어난 수학자, 물리학자들과 접촉하여 자연과학의 연구를 추친하였고 영국 왕립학회회원이 되었고 우수한 계산기를 발명하였습니다. 

 

1676년 독일의 하노버로 이주한 라이프니츠는 궁정고문이나 도서관리 등의 일을 맡아 죽을 때까지 다면적인 활동을 하였습니다. 공법학자, 정치가로서의 활동, 종교 통일을 위한 노력 등과 함께 수학, 자연과학, 철학의 연구도 계속합니다.

 

라이프니츠의 수학에서의 가장 큰 업적인 미적분학의 발견입니다. 그러나 동시대의 영국의 뉴턴과 거의 비슷한 시기에 이루어졌고 뉴턴은 연구 결과를 늦게 출판했고 라이프니츠가 먼저 출판을 하자 누가 먼저 발명했는지에 대한 우선권 논란이 생겼습니다. 당시 영국왕립협회가 누가 미적분학의 창시자인지의 판단을 하게 되는데 그때 뉴턴은 영국왕립협회의 의장이었습니다. 결국 영국왕립협회는 뉴턴의 손을 들어주었고 라이프니츠는 이에 대한 질문을 전혀 받지 못했다고 합니다. 이런 일들이 쌓이면서 라이프니츠의 말년은 불우했고 실의 속에서 70세에 하노버에서 세상을 떠납니다. 미적분학의 논쟁은 라이프니츠 사후 뉴턴과 라이프니츠가 각자 연구해 남긴 업적으로 인정받게 되었습니다. 

 

 

미적분학의 발견

라이프니츠의 최대의 수학적 업적은 미적분학의 발견입니다. 뉴턴은 물리학과 연결된 미적분학이라면 라이프니츠의 미적분학은 기하학적이고 기호적입니다. 무한급수와 무한소 미적분학에 대한 이론을 정립하고 이 과정에서 다른 수학자들도 쉽게 이해하고 사용할 수 있는 표기법 체계를 고안했습니다. 합을 뜻하는 라틴어 Summa의  S를 길게 늘인 적분기호 ∫ , 라틴어 differentia에서 유래한 미분기호 d의 사용을 제안했고 현재에도 쓰이고 있습니다. 라이프니츠가 발견한 미분학에서의 곱의 법칙과 적분 법칙을 알아보겠습니다. 

 

 

이진법의 발견과 라이프니츠 계산기

오늘날 디지털에서 가장 많이 사용하는 것은 이진법입니다. 디지털은 '0'과 '1'의 세계라고 일컫는데 이 두 숫자를 이용한 진법체계인 이진법을 만든 사람이 라이프니츠입니다. 그는 중국에 선교사로 가 있던 예수회 선교사 부베 신부가 보내온 주역의 64괘 그림을 보고 주역의 괘를 연구해 이진법을 착안했습니다. 라이프니츠는 우리가 지금 누리고 있는 인터넷 세상의 시작점을 알린 수학자입니다. 또한 덧셈과 뺄셈만 가능한 파스칼 계산기를 보완해 곱셈과 나눗셈 그리고 제곱근 계산 기능을 추가한 라이프니츠 계산기를 만들었습니다. 

부배 신부가 보낸 주역의 64괘 그림(좌)과 라이프니츠 계산기(우)

이 외에도 라이프니츠는 '직선은 같고, 어떠한 부분도 전부와 닮았다.'라고 했습니다. 이는 자기유사성과 연속의 성질을 기반으로 브누아 망델브로의 프랙털 기하학의 출발점이라고 봐도 무방합니다. 라이프니츠는 2세기나 앞서 위상수학을 예견한 것으로 그의 천재성은 참으로 놀랍습니다. 

 

 

라이프니츠의 영향과 의의

17세기에는 데카르트, 파스칼, 페르마, 뉴턴 등 정말 많은 천재들이 활동한 시기입니다. 천재들의 끝판왕 완결판 같은 존재는 라이프니츠였다고 합니다. 그는 수학, 물리학, 지리학, 생물학, 법률학, 철학 등 수많은 분야에 발자취를 남긴 만능 천재로 특히 수학사와 철학사에 남긴 업적이 큽니다. 요즘 수학은 라이프니츠가 고안한 미적분법을 따르고 있으며 디지털 시대에 필요한 이진법을 창안했습니다. 합리주의자로 현대 분석 철학의 시대를 앞당기기도 했습니다. 그의 연구 업적은 당시에 인정받지 못했지만 후대의 수학자와 여러 학자들에 의해 인정받고 있으며 연구의 소재를 제공하고 있습니다.