침대 위에서 세상을 바꾼 해석 기하학의 창시자, 데카르트

르네 데카르트(René Descartes, 1596년 ~ 1650년)는 다양한 분야에서 많은 공헌을 한 수학자, 철학자이자 과학자입니다.  '나는 생각한다. 고로 존재한다.'라는 명언을 남긴 데카르트에 대하여 알아보겠습니다. 

침대 위의 데카르트

데카르트는 프랑스 중부 투렌 지방의 투르 인근의 도시에서 태어났습니다. 아버지가 고등법원의 평정관으로 집안은 부유했으나 어머니가 일찍 돌아가셨습니다. 데카르트 역시 몸이 많이 약해서 학교에 가는 것도 힘들어했지만 데카르트가 학교에 가기를 원해서 예수회학교에 들어가게 됩니다. 그는 학교에서 논리학, 윤리학, 물리학, 형이상학, 유클리드 기하학 등을 공부하였지만 몸이 약해 수업을 제대로 들을 수가 없었습니다. 몸이 약한 데카르트를 위해 교장 선생님은 아침 수업을 빼주었다고 합니다. 자연스럽게 침대에서 머무는 시간이 많아지고 다른 친구들이 수업을 들어가고 없는 조용한 침대에서 데카르트는 명상하는 시간을 가질 수 있었습니다. 그는 침대 위에서 사색과 생각을 정리하였는데 이 시간들이 그의 사상을 정립하는데 많은 도움이 되었다고 합니다.  

 

1649년에 스웨덴의 크리스티나 여왕은 데카르트를 초청하였습니다. 그런데 데카르트는 네덜란드에서의 안정된 생활을  누리고 싶어 정중히 거절하였습니다. 그렇지만 여왕은 포기하지 않고 계속된 초청에도 데카르트는 거절을 하자 나중에는 스웨덴의 군함을 보내 데카르트를 데려오게 했고 결국 그는 여왕의 요구를 받아들이게 됩니다. 크리스티나 여왕은 데카르트에게 새벽 시간에 강의해 줄 것을 요구했습니다. 데카르트는 몸이 약해서 늦게까지 잠을 자야 하는 사람인데 새벽 강의는 그에게 매우 힘든 일이었습니다. 결국 데카르트는 건강이 악화되어 1650년 폐렴으로 세상을 떠나게 됩니다. 

 

 

파리 한 마리로 인해 좌표계를 만들다

군인이 된 데카르트는 역시 침대에 누워있는 것을 좋아했습니다. 여느 날과 같이 침대에 누워있는데 천장에 파리 한 마리가 돌아다니는 것을 발견합니다. 파리는 천장의 한쪽 구석을 천천히 앞뒤로 왔다 갔다 했습니다. 그 모습을 보고 데카르트는 어떻게 하면 파리의 위치를 설명할 수 있을지 고민하였습니다. 그는 가까이 있는 두 벽과 파리가 있는 곳까지의 거리를 알면 파리의 정확한 위치를 나타낼 수 있다고 생각했습니다. 파리의 위치를 좌표로 나타내면 누구나 파리의 위치를 숫자를 이용해서 나타낼 수 있습니다. 작은 곤충 한 마리와 침대에서의 사색이 만나 위대한 발견을 한 순간입니다. 

 

해석 기하학의 창시자

어느 날 데카르트는 특별한 세 가지 꿈을 꾸게 됩니다. 꿈을 통해 무언가 깨달음을 얻은 데카르트는 수학의 해석 방법을 학문의 보편적 방법으로서 일반화하고 이로써 모든 학문을 통일하는 예상을 한 동시에 이 일에 일생을 바칠 결심을 했습니다. 그 후에 대수학과 기하학을 연결시켜 해석 기하학을 창안했습니다. 

 

데카르트는 페르마와 함께 해석 기하학을 만든 사람입니다. 해석 기하학은 대수학과 기하학을 결합입니다. 데카르트의 해석 기하학은 평면상의 모든 점에 그 점만이 갖고 있는 고유한 속성을 체계적으로 부여하고 그 속성을 일종의 이름으로 사용할 수 있는 좌표계의 도입입니다. 관련된 양들을 점들의 좌표로 나타낼 수 있을 때 임의의 대수방정식을 기하학을 통해 해결할 수 있다는 생각을 토대로 하고 있습니다. 이 점들을 이으면 직선 또는 곡선이 됩니다. 한 변수가 또 다른 변수와 관련된 임의의 방정식이 곡선을 나타내면 이것은 임의의 그런 대수방정식이 기하학으로 해결할 수 있으며 임의의 기하학적 문제가 대수학으로 표현될 수 있음을 뜻합니다. 

 

해석기하학에 의한 좌표계의 도입은 우리의 일상생활에서 아주 중요한 생활의 일부가 되었습니다. 설계를 할 때 필요한 CAD 프로그램이나 수많은 차들에 장착되어 있는 GPS 역시 좌표계의 응용입니다. 스마트폰의 터치스크린 역시 데카르트의 좌표의 원리를 응용한 것입니다. 데카르트보다 약 50년 후에 태어난 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명할 수 있었던 것도 좌표계에 기초한 대수적 함수의 개념이 데카르트에 의해 도입되었기 때문입니다. 이렇듯 데카르트 좌표의 도입은 수학에서는 혁명적인 것입니다.

 

이 외에도 데카르트는 a, b, c 같은 알파벳의 앞쪽 글자들은 알려진 양을 나타내고 x, y, z 같은 뒤쪽 글자들은 미지수를 나타내는 데 사용하는 것을 관습화시켰습니다. 지수의 표현법도 거듭제곱을 어깨 숫자로 사용하였습니다. 또한 계수의 부호를 기반으로 다항 방정식의 양수 및 음수 근의 수를 결정하는 규칙을 도입했는데 오늘날의 대수학에서도 여전히 사용되고 있습니다. 

 

 

데카르트의 영향과 의의

데카르트는 철학자로도 유명합니다. 정신과 물질의 철저한 이원론, 기계론적 자연관 등에 의해서 근대과학의 이론적 틀을 최초로 확립한 사상가이며 '근대 철학의 아버지'라고 불립니다. 수학에도 큰 업적을 남겼는데 데카르트의 해석 기하학은 후에 미적분학이 발전할 수 있는 기초를 만들어 주었습니다. 또한 미지수의 사용을 상용화하였습니다. 

 

'나는 생각한다. 고로 존재한다.' 사색과 명상을 즐기며 수학과 과학, 철학, 사상에 큰 영향을 미친 데카르트의 이론은 오늘날에도 여전히 연구되고 있고 새로운 아이디어 토대를 마련해 주고 있습니다.