페르마의 마지막 정리를 증명한 수학자, 앤드류 와일스

앤드류 와일스(Andrew Wiles, 1953 ~ )는 350년간 풀리지 않았던 수학계의 난제인 페르마의 마지막 정리를 증명한 수학자로 알려졌습니다. 오늘은 앤드류 와일스를 이야기해 보겠습니다.

 

페르마의 마지막 정리를 만나다

앤드류 와일스는 영국 케임브리지에서 태어났습니다. 그의 아버지는 케임브리지 대학 클레어 칼리지의 학장으로 런던 킹스 칼리지에서 기독교 교리를 가르치는 교수로 옥스퍼드 대학의 신학부 교수와 수사 신부였습니다. 계산 문제 푸는 것을 즐겼던 와일즈는 집에서도 비슷한 문제를 만들어 풀곤 했습니다. 10살 때 동네 도서관에서 우연히 읽게 된 수학 책에서 페르마의 마지막 정리를 발견했다고 합니다. 와일즈는 300여 년의 시간 동안 수많은 수학자들이 도전했지만 실패한 것을 알고 이 난제를 증명하기로 결심합니다. 

 

십 대의 와일즈는 고등학교 수학을 이용하여 그 문제에 접근하려고 시도했습니다. 이 문제에 완전히 매료된 그는 옥스퍼드 대학의 머튼 칼리지 수학과에 입학해서도 이전 3세기 동안 페르마의 마지막 정리를 해결하기 위해 다른 학자들이 사용했던 수학적인 방법들에 특별한 관심을 쏟으며 더욱 깊게 수학을 연구하기 시작합니다. 

 

 

페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리는 17세기 프랑스의 수학자 페르마가 디오판토스의 『산술(Arithmetica)』의 여백에 쓰인 메모에서 시작했습니다. 페르마는 '이 정리의 감탄할 만한 증명방법을 발견했지만 여백이 너무 좁아서 쓸 수 없다'라고 적어놓았습니다. 그 후 많은 수학자들이 증명하려고 도전했지만 미해결 문제로 남아 있었습니다.

페르마의 마지막 정리
지수 n이 2보다 큰 정수이면 방정식 xⁿ +yⁿ =zⁿ 은 정수해를 갖지 않는다.

19세기 중반까지 프랑스의 연구원들이 200보다 작은 모든 지수에 대해 특별한 경우를 증명했습니다. n이 3, 4, 5, 7, 14인 경우에 대해서만 완벽하게 증명하였고 1976년에는 125,000보다 작은 모든 지수에 대해 정수해를 갖지 않음을 보였습니다. 6년 후에 컴퓨터 프로그램의 도움으로 4,000,000보다 작은 지수에 대해 정수해가 존재하지 않음을 보였습니다. 

 

 

페르마의 마지막 정리를 증명하다

와일즈는 박사학위를 받은 후 페르마의 마지막 정리를 해결하는 데 있어서 어떠한 진척도 이루지 못했음을 깨닫고는 중단하기도 합니다. 하지만 1986년 미국의 수학자 리벳의 논문에서 타원곡선에 대한 타니야마-사무라이 추측과 페르마의 마지막 정리를 관련지어 설명한 것을 보고 와일즈는 다시 페르마의 마지막 정리에 완전히 몰두하게 됩니다. 그는 자택의 다락방에 있는 허름한 사무실에서 혼자 지내며 연구에 몰두했습니다. 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 연구하는 사실은 그의 아내와 동료인 프린스턴 수학과 교수 니콜라스 케이츠만이 알고 있었습니다. 와일즈는 이 연구에 모든 시간과 에너지를 소비하면서 하루하루를 보냈습니다. 가끔은 세 딸과 함께 놀아 주면서 기분전환을 했다고 합니다. 

 

그는 준안정적인 타원곡선 연구에 초점을 두었는데 이것은 소수와 관련된 특별한 세 개의 근을 갖는 타원곡선을 말합니다. 갈루아 표현법, 헤케 대수, 판별식, j-불변식을 이용하여 모든 준안정적 타원곡선이 모듈임을 증명합니다. 그 결과는 페르마의 마지막 정리의 증명이었습니다. 1993년 6월 23일 와일즈는 영국의 케임브리지의 뉴턴연구소에서 열린 세미나에서 연구 결과를 발표합니다. 청중이었던 200명의 수학자들은 기립 박수를 보냈고 국제과학계에 큰 흥분을 주었습니다. 그러나 그의 증명에 일부 오류가 있음을 밝혀졌고 와일즈는 15개월 동안 그의 제자였던 리차드 테일러 함께 다른 방법을 사용하여 증명을 일부 수정함으로써 그 오류를 정정하여 페르마의 마지막 정리를 증명하였습니다. 1995년 5월 109쪽이나 되는 논문 『모듈 타원곡선과 페르마의 마지막 정리』로 수학 연보에 수록됩니다. 

 

와일즈의 성과는 3세기 이상 미해결 문제로 남아있던 정리를 증명했다는 것에 그치지 않습니다. 서로 관련이 없어 보이는 수학 분야들 사이에 일관된 관련이 있음을 보여 주었고 그의 성공에  힘을 얻어 다른 수학자들은 수학의 다른 분야에서 제기된 고전적인 추측들과 미해결 문제들을 해결하는 데 있어서 현대의 대수 기하학적인 방법들을 적용하기 시작했습니다. 

 

또한 학자들은 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 동원된 수학 이론들이 다양하게 변주되고 통합도어 수학의 전체적인 발전을 이끌어 낸 종합수학사적 작품의 완성과 같다고 평가합니다. 단순히 미해결 문제를 푸는 것이 아니라 현대수학까지 수학적 지식을 모아 증명하는 수학적 총체적 산물이자 인류의 지식이 진보되었음을 증명하는 것과 같았던 것입니다. 

 

하지만 여전히 의문은 남아있습니다. 페르마의 마지막 정리의 증명에 사용한 이론들은 페르마의 사후에 나온 수학 이론들입니다. 그렇다면 놀라운 증명법을 발견했지만 여백이 좁아 남기지 않겠다고 했던 페르마의 증명법에는 현대수학이 들어있지 않을 테니까 와일즈가 증명한 것은 진정한 증명법이 맞는 것인지에 대한 의문입니다. 페르마가 살았던 시대의 수학 이론만으로 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 도전하고 있는 수학자들이 있다고 합니다. 

 

 

앤드류 와일즈의 영향과 의의

앤드류 와일즈는 타원곡선과 관련된 버츠와 스위너톤-다이어 추측의 일부와 모듈 형태와 관련된 중요한 이와자와의 추측을 증명함으로써 대수적 정수론에 중요한 기여를 했습니다. 제한적이기는 하나 준안정적인 타원고선에 대한 타니야마-시무라의 추측의 일부를 증명하는 데 성공하여 300년 동안 수학자들이 해결하고자 했던 페르마의 마지막 정리를 증명하였습니다. 이 성과를 인정받아 필즈상의 특별상인 은판을 받았고 울프상, 아벨상 등을 수상하였습니다.