미분 기하의 미해결 문제를 해결한 수학자, 야우싱퉁

야우싱퉁(Shing-Tung Yau, 1979 ~ )은 미분 기하에서 많은 미해결 문제를 풀었던 수학자입니다. 1982년 필즈상을 수상한 중국의 수학 영웅 야우싱퉁에 대하여 알아보겠습니다. 

출처 - 위키백과

 

야우싱퉁의 유년기

야우싱퉁은 1949년 중국의 남쪽 광둥성의 샨토우 시에서 태어났습니다. 야우가 어릴 때 아버지는 홍콩 중문대학교 경제학과 철학 교수가 되어 홍콩으로 이주했습니다. 형제남매가 8명인 그의 가정은 아버지의 박봉으로 생활이 어려워서 어머니는 수제품을 팔아야 했다고 합니다. 더욱이 야우가 14살 때 아버지가 돌아가셔서 가정 형편은 더욱 어려워졌습니다. 하지만 야우는 어려운 가정 형편 속에서도 열심히 공부하였고 아버지의 격려로 수학에 흥미를 가지게 되었습니다. 

 

1966년 홍콩의 청치 단과대학에 수학 전공으로 입학합니다. 그런데 청치 단과대학에는 수학 강좌가 많이 없어 다양한 강의를 들을 수 없었기 때문에 야우는 연합 대학과 홍콩 중문대학에서 수학 수업을 청강했습니다. 1969년 학사학위를 받고 뛰어난 실력을 인정받아 미국의 컴퓨터 회사인 IBM 사의 장학금을 받아 미국 버클리 캘리포니아 대학원에서 입학합니다. 그곳에서 수학자 천싱선의 지도아래 박사학위를 취득합니다. 

 

 

미분기하의 세 개의 열린 문제를 풀다

1978년부터 1982년까지 야우는 미분기하에서 세 개의 열린 문제를 해결하여 수학자로서의 이름을 알립니다. 미분기하는 높은 차원의 공간에서 기하적인 대상물을 묘사하고 분석하기 위하여 미분과 적분을 사용하는 수학 분야입니다. 

 

첫 번째 미해결 문제는 칼라비 추측입니다. 칼라비 추측은 1950년 이탈리아의 수학자 에우제니오 칼라비에 의하여 처음으로 제안된 질문으로 5차원 이상 차원에서 어떻게 부피와 거리가 특별한 표면 유형으로 측정도리 수 있는가에 관련된 문제입니다. 야우는 칼라비가 제안했던 조건 아래  콤팩트 켈러 다양체로 알려진 표면이 리치-평면 거리로 알려진 특별한 거리함수 유형을 가졌다는 것을 증명했습니다. 이 과정에서 칼라비-야우 다양체를 도입합니다. 칼라비-야우 다양체라고 불리는 표면의 집합은 널리 물질의 끈은 모든 재료의 기본적인 구조 덩어리를 형성한다는 개념인 끈이론과 연결하여 수학적 물리학에서 연구됩니다.

칼라비 - 야우 다양체

 

다음으로 야우는 제자였던 리처드 쉔과 양수 질량 추측을 증명하는 공동연구를 합니다. 리만기하학과 아인슈타인의 일반 상대성이론을 토대로 한 이 제안은 모든 우주 안에 에너지의 합은 양수하록 주장합니다. 그들은 제로 평균곡률을 가지는 초곡면에 관한 추측의 특별한 경우로 기본적인 수치 조건을 만족하는 탄젠트 선을 갖는 표면의 제한된 집합을 증명합니다. 이어 더 일반적인 표면들을 이전에 해결할 수 있었던 특별한 경우로 변형시켜 추측의 일반적이 경우를 증명했습니다. 이 증명과정에서 그들은 기하, 수학적 물리학, 위상 분야에서 비선형 타원 편미분방정식으로 알려진 복잡한 방정식을 가지고 연구하는 새로운 방법을 이끌었습니다. 

 

또한 야우는 윌리엄 A. 믹스와 최소표면과 플라토 문제를 포함하는 미해결 문제를 해결하기 위한 공동연구를 합니다. 플라토 문제는 철사 빼대로 비누 막에 대한 실험을 했던 물리학자 조셉 플라토의 이름을 딴 것으로 주어진 경계에 맞는 최소영역을 가진 표면의 구성에 관한 문제입니다. 많은 수학자들이 연구한 후에 1930년대 1940년대의 제시 더글라스 등에 의해 해가 존재할 경우는 해결이 되었습니다. 야우와 믹스는 1982년에 해가 없는 경우에 관련된 질문을 완성하였습니다. 그들은 더글라스가 표면의 한 지역에 모여진 부분에 관해 단지 증명할 수 있었던 결과를 확장하여 더글라스의 해에 의해 만들어진 전체 표면이 평범한 3차원 공간 안에 매끄러운 표면이라는 것을 증명했습니다. 

 

야우의 편미분방정식, 미분 가능한 다양체의 위상, 최소표면의 특성에 관한 연구 등의 성과를 인정받아 1982년 필즈상을 수상하게 됩니다. 

 

 

기하학의 연구를 계속하다

야우는 연구를 시작하고 처음 16년 동안 4개의 유명한 다른 대학에서 많은 연구 활동을 하였습니다. 1987년 이후로는 하버드대학교에서 교육 및 연구활동을 이어왔습니다. 

 

미국에서 교수와 연구원으로 지내며 동시에 중국의 수학 교육과 연구 수준을 향상하기 위해 일했습니다. 2003년 이래로 야우는 홍콩 중문대학의 석좌교수 지위를 유지하고 있습니다. 1991년에는 수학의 현재 상태와 전망에 관한 토론회에서는 야우는 미분기하학과 비선형 미분방정식 분야가 활동적인 중요한 연구 영역이라 말하고 특히 그 분야들이 컴퓨터 그래픽, 소립자 물리학, 로봇 공학, 화학, 정보이론, 기상 예보, 생물학 모델링에서 기본적인 도구로 사용이 증가하고 있다고 언급했습니다. 

 

야우는 자신의 독창성을 계속 발휘하여 최소표면에 관한 연구와 관련되며 대수적 기하학과 수학적 물리학 분야에 속하는 거울면 대칭에 관한 연구를 계속하고 있습니다. 브랜다이스 대학의 수학자 봉 리앙과 스탠퍼드 대학의 케펭 리우와 함께한 연구에서 더 접근하기 쉬운 '거울면 다양체'의 대응 특성을 분석하면서 3차원 칼라비-야우 다양체의 특성을 분석했습니다. 

 

야우는 35년 동안의 연구를 통해 300편 이상의 논문을 쓰고 논문 모음집을 편집했습니다. 또한 '미분기하 저널'과 '아시아 수학 저널'에서 최고 편집자로 일하면서 해당 분야의 연구 방향의 안내를 도왔습니다.  야우는 연구 업적을 인정받아 1982년 필즈상, 2010년 울프상 수상 등 많은 상을 받았습니다.

 

 

야우싱퉁의 영향과 의의

야우싱퉁은 미분기하에 상당한 기여를 했습니다. 칼라비 추측에 대한 증명은 수학적 물리학에서 중요한 연구 주제로 칼라비-야우 다양체를 입증했고 양수 질량 추측에 관한 증명으로 블랙홀이론의 수학적 기초를 굳히는 것을 도왔습니다. 또한 플라토 문제, 프랭클 추측, 히친-코바야시 추측에 관한 해결은 오랫동안 지속된 미해결 문제의 해답을 제공했습니다. 기하에서 야우의 연구는 위상, 대수적 기하학, 최소표면이론, 끈이론을 포함하여 다양한 수학과 물리학 분야 연구에 강한 영향을 주었습니다.