불완전성을 발견한 논리학자이자 수학자, 쿠르트 괴델

쿠르트 괴델(Kutt Godel, 1906년 ~ 1978년)은 20세기 가장 영향력 있는 인물 100명에 든 단 두 명의 수학자 중 한 명으로 20세기의 수학 사고를 뒤흔든 수학자입니다. 그럼에도 상대적으로 덜 알려진 인물입니다. 오늘은 쿠르트 괴델에 대하여 알아보겠습니다.

 

 

괴델의 생애와 일화

괴델은 지금은 체코에 속하나 당시에는 오스트리아-헝가리 제국에 속하는 브르노에서 태어났습니다. 괴델은 어렸을 때부터 몸이 허약했지만 꼼꼼한 성격으로 성적은 우수했다고 합니다. 특히 외국에 큰 관심을 가지고 독일어, 영어, 프랑스어는 유창한 실력을 가졌고 라티어, 그리스어, 이탈리아어 등에도 상당한 실력을 가지고 있었습니다.

 

1924년에는 빈 대학 물리학과에 입학하였는데  2년 후 정수론에 매력을 느껴 수학을 전공하기로 결정합니다. 1926년부터 1929년까지 매주 목요일 저녁에 수학연구소의 세미나실에서 열리는 비엔나 모임의 세미나에 정기적으로 참석하지만 이 모임의 내용들 대부분은 공감하지 않습니다. 몇 년 후 괴델의 불완전성의 원리는 이 비엔나 모임의 철학자들의 생각에 대한 반론의 결실이라고 말할 수 있습니다. 괴델은 수학과 논리학의 연구에 집중하게 됩니다. 1929년부터 수학연구소에서 열리는 카를 멩거의 세미나에 참석하게 되는데 이곳에서 당시 저명한 학자들인 논리학자 알프레드 타르스키와 수학자 폰 노이만과도 만나게 됩니다. 

 

1929년 괴델은 1차 논리의 완전성을 증명하는 '완전성 정리'를 제출했고 이듬해 이 논문으로 박사학위를 받았습니다. 2년 후 20세기 수학기초론과 논리학에서 가장 중요한 발견으로 여겨지는 『불완전성의 원리』를 발표합니다. 그의 나이는 25세였습니다. 당시 수학계는 힐베르트나 레셀의 공리적인 방법을 통해 수학 체계를 세우는 연구가 대세를 이루고 있었기에 수학 명제 중에 참인지 거짓인지 알 수 없는 명제가 반드시 존재한다는 것을 증명한 괴델의 '불완전성의 원리'는 수학계의 파란을 일으켰습니다. 괴델의 '불완전성의 원리'는 수리 논리학이 더 발전할 수 있는 계기를 만들었습니다. 

 

괴델은 1938년 오스트리아가 독일에 합병이 되자 1940년 즈음 미국으로 망명하여 프린스턴 고등연구소에 자리를 잡게 됩니다. 그는 연속체 가설과 선택공리가 집합론의 공리들로부터 반증 불가능한다는 것을 증명하여 발표합니다. 프린스턴 고등 연구소에서 괴델은 아인슈타인과 친밀하게 교류하였고 두 사람은 삶을 함께하는 친구가 되었습니다. 괴델은 프린스턴 연구소에서 연구 주제를 순수 수학이나 논리학에서 벗어나 우주론이나 철학으로 옮겨갔는데 특히 수학의 철학적 기초에 대한 연구를 하였습니다. 

괴델과 아내 아델(좌) 괴델(왼쪽)과 아인슈타인(우)

 

괴델은 8살 때 류머티즘을 앓았고 몸이 약해서 극도의 건강염려증 속에서 은둔자적인 삶을 살았다고 합니다. 소심하고 자신감이 없었던 그는 자기혐오에 시달리다가 갈수록 환경이 열악해져 불안 증세까지 나타났습니다. 그의 곁에는 헌신적인 아내 아델과 친구 아인슈타인이 있었습니다. 그러나 제2차 세계대전 때 결국 직장에서 해고당하고 아인슈타인 사망하자 괴델의 불안증은 극도로 강해져 아내인 아델이 만들어준 음식 외에는 모든 음식을 거부하는 상태까지 되었습니다. 누군가 자신을 독살할 것이라는 생각에 빠졌기 때문입니다. 아내 아델이 수술을 하기 위해 병원에 입원하자 괴델은 아무것도 먹지 않다가 결국 아사하게 됩니다. 병원 기록에 의하면 당시 괴델은 168cm의 키에 29kg의 몸무게였다고 합니다. 천재적인 재능을 가진 괴델의 안타까운 죽음이었습니다. 

 

 

괴델의 완전성의 원리, 불완전성의 원리

괴델의 가장 큰 수학적 업적은 <완전성의 정리>와 <불완전성의 정리>입니다.  

 

완전성의 정리는 특정 조건을 만족하는 수학적 논리의 형식 시스템에 대해 해당 시스템 내의 모든 유효한 수학적 진술이 시스템 내에서 증명될 수 있다고 말합니다. 즉, [참인 명제는 모두 증명이 가능하다.]로 정리할 수 있습니다. 완전성의 정리는 불완전성의 정리와 함께 논리학 및 수리논리학에 큰 영향을 미쳤습니다. 

 

불완전성의 정리는 [진리이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재한다.]는 한 줄로 설명할 수 있습니다. 그렇지만 정리에 관한 증명 과정을 이해하는 것은 절대 쉽지 않습니다. 불완전성의 원리는 제1불완전성 정리와 제2불완전성 정리가 있습니다. 제1불완전성 정리는 증명이나 부정이 되지 않는 명제가 있다는 내용입니다. '연속제 가설'은 증명도 부정도 되지 않는 명제임을 증명한 한 예입니다. 제2불완전성 정리는 공리 체계에 모순이 없으면 모순이 없다는 것을 증명하지 못한다는 내용입니다. 괴델의 불완전성의 원리는 수리 논리학, 분석철학, 인식론을 비롯한 언어학, 현대의 인지과학 등에도 영향을 미쳤습니다. 

 

또한 불완전성의 원리는 인공지능의 한계에 대한 연구에도 영향을 주었습니다. 공리와 규칙을 어떻게 선택해도 만약 그 체계에 모순이 없다면 이 체계 중에 증명할 수 없는 진리인 명제가 있다는 원리는 기호와 규칙으로 이루어진 컴퓨터 언어로 인공지능에게 사람의 지성을 가르쳐주는 한 인공지능이 도달할 수 없는 영역이 있다는 해석을 불어온 것입니다. 그리고 이와 같은 이론은 정리의 증명에 사용된 코딩이론, 계산 가능성 이론 등과 함께 앨런 튜링, 폰 노이만과 같은 천재 수학자들에게 영감을 주면서 세계 최초의 현대적 컴퓨터 설계를 만드는 이론의 바탕이 되었습니다. 

 

그 외에도 칸토어의 연속체 가설과 선택공리가 반증될 수 없음을 증명하였고, 상대성 이론에서의 괴델 우주를 고안하였으며 고전 논리, 직관 논리, 양상 논리의 관계를 명확히 해서 증명 이론에 중요한 기여를 했습니다. 

 

 

괴델의 영향과 의의

괴델은 20대에 수학기초론과 논리학에 결정적인 전환점을 가져온 불완전성의 원리를 발표하여 수학계의 파란을 일으켰습니다. 이는 수학기초론의 모순을 드러냄으로써 수리논리학이 더 발전할 수 있는 계기를 마련해 주었고 분석 철학, 언어학, 컴퓨터 설계 등 다른 분야에도 영향을 미쳤습니다. 괴델은 아리스토텔레스 이후 가장 위대한 논리학자라는 평을 듣고 있습니다. 또한 괴델은 앨런 튜링과 함께 20세기 가장 영향력 있는 100명에 든 단 2명의 수학자 중 한 명으로 그의 연구 가치는 인정받고 있고 오늘날 많은 학자들에게 새로운 영감을 주고 있습니다.