프랙탈 패턴을 수학으로 표현한 수학자, 시어핀스키

바츠와프 시어핀스키(Waclaw Franciszek Sierpinski, 1182년 ~ 1969년)는 집합론과 수론 및 위상수학에 공헌한 수학자입니다. 우리에게는 시어핀스키 삼각형으로 익숙한 수학자입니다. 시어핀스키에 대하여 알아보겠습니다. 

 

시어핀스키의 생애

시어핀스키는 폴란드의 바르샤바에서 태어났습니다. 아버지는 의사였고 그의 첫 번째 수학 선생님은 시어핀스키의 수학적 재능을 알아봤습니다. 하지만 시어핀스키가 태어난 때는 폴란드가 러시아의 지배를 받고 있었을 때입니다. 러시아는 폴란드 사람들이 폴란드의 언어와 문화가 아닌 러시아의 언어와 문화를 배우도록 강요했던 시기라서 시어핀스키는 자유롭게 수학 공부를 하기가 어려웠습니다. 그렇지만 시어핀스키는 이를 이겨내고 공부를 계속해 바르샤바 대학의 수학 물리학부에 들어가게 됩니다.

 

졸업 후 그는 수학 물리학 선생님으로 일하다가 학교가 파업으로 폐교하자 크라쿠프로 이사해 야기에우워 대학교에서 박사 과정을 밟게 됩니다. 박사 학위를 받고 다시 리비우로 옮겨서 리비우 대학교의 교수가 됩니다. 이때부터 집합론에 관심을 가지기 시작하고 연구를 시작합니다. 1909년에 최초로 대학에서 집합론 과목을 개강하고 여러 편의 논문을 발표하고 집합론 수론에 관한 3권의 책을 출판합니다.

 

제1차 세계대전이 일어날 당시 시어핀스키 가족은 러시아에 머물러 있었습니다. 전쟁이 끝난 후 시어핀스키는 다시 리비우로 돌아왔다가 바르샤바 대학교의 교수로 초빙되어 바르샤바로 옮깁니다. 이후 바르샤바에서 남은 생을 보내면서 바르샤바 대학교에서 은퇴를 하게 됩니다. 1960년 은퇴한 시어핀스키는 1969년 세상을 떠났습니다. 그는 총 724편의 논문과 집합론과 수론에 대한 저서를 비롯해 50권의 책을 출판합니다. 

 

 

시어핀스키 삼각형

시어핀스키 하면 가장 먼저 떠오르는 것은 시어핀스키 삼각형입니다. 정삼각형을 같은 크기의 네 개의 정삼각형으로 나누어 가운데 삼각형은 도려내고 남은 삼각형들을 다시 앞에서 한 행동을 수없이 반복하였을 때 만들 수 있는 도형으로 프랙털의 한 예입니다. 

시어핀스키 삼각형은 다음과 같은 성질을 갖습니다. 

다음으로 시어핀스키 카펫이 있습니다. 칸토어 집합의 이차원적인 프랙털 도형의 일종으로 이것은 한 변의 길이가 1인 정사각형을 9 등분하여 중앙의 부분을 제거하고 남아 있는 더 작은 정사각형의 중앙을 제거하는 과정을 계속 반복하여 그립니다. 

 

 

시어핀스키의 수학이론

시어핀스키는 '도달 불가능한 기수'의 개념을 도입했습니다. 집합론에서 도달 불가능한 지수는 큰 기수의 하나로 더 적은 개수의 더 작은 기수로 표현할 수 없는 기수를 말합니다. 즉, 그보다 작은 기수의 덧셈·곱셈·거듭제곱으로 나타낼 수 없는 기수로 알프레드 타르스키와 에른스트 체르멜로와 함께 시어핀스키가 개념을 도입했습니다. 그보다 앞서 독일의 수학자 펠릭스 하우스도르프는 '약하게 도달 불가능한 기수'를 정립하였습니다. 

 

위상 수학의 분야의 연구도 하였는데 시어핀스키 공간을 발견했습니다. 시어핀스키 공간이란 원소가 단 두 개 있는 집합에 대해서 그 위상이 자명 위상도 아니면서 이산 공간도 아닌 공간입니다. 선택되는 원소가 0이나 1이냐만 달라질 뿐 본질적으로는 똑같기 때문에 구분하는 의미가 없습니다. 위와 같은 위상으로 특정할 경우 {1}은 열려 있고 {0}은 닫혀 있습니다. 

 

 

시어핀스키의 영향과 의의

시어핀스키는 총 724편의 논문과 50여 권의 저서를 남기면서 꾸준한 연구를 했습니다. 두 번의 세계대전을 거치면서 여러 가지 어려운 상황이 있었지만 그의 학문에 대한 열정을 꺾을 수는 없었습니다. 그는 특히 집합론과 정수론 그리고 위상수학에 공헌을 했습니다. 그가 개발한 시어핀스키 프랙털 기하는 지식 산업과 예술 분야 발전에 크게 기여하고 있습니다. 

 

 

자연을 수학적으로 나타내다

프랙털에 대하여 더 알아보겠습니다. 1975년 만델브로트는 자연에서 발견한 복잡한 모습을 수학으로 나타내기 위해 프랙털 기하학을 만듭니다. 라틴어 fractus(파편)에서 유래한 용어로 프랙털은 전체를 부분으로 나누었을 때 그 부분 안에 전체의 모습을 갖는 무한 단계의 기하학적 도형을 말합니다. 자연을 수학적으로 나타내고자 했기 때문에 자연에서 찾아볼 수 있는 프랙털이 많습니다. 

시어핀스키의 삼각형도 프랙털의 한 종류입니다. 프랙털의 대표적인 종류는 그림과 같습니다. 

코흐곡선(출처-나무위키)

칸토어 집합(출처-나무위키)

맹거스폰지(출처-나무위키)